Ej6. Ambos interruptores, que se muestran en el circuito siguiente, han estado abiertos durante un largo período de tiempo. En t = 0, el interruptor S1 se cierra, posteriormente, en t = 2 s, se cierra el interruptor S2.
Obtener la evolución de i(t).
Nos piden obtener el valor de i(t) que se muestra en el enunciado del problema, para el ello, debemos prestar atención a las condiciones que nos expone el enunciado.
· Los interruptores han estado abiertos por un largo período de tiempo: Esto significa que el inductor está completamente descargado.
Una vez tenemos clara las condiciones del problema, vamos a abordarlo teniendo en cuenta las posiciones de los interruptores e instantes que nos anuncia el problema.
· t = 0: S1 Cerrado y S2 Abierto.
El circuito que tenemos es el siguiente:
Para este caso, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (in) y por el otro: El régimen permanente (ip). La solución general será del tipo:
· i(0+) = ip + in
Así que vamos a obtener los dos por separado.
· Régimen Permanente:
Este caso, el interruptor S1 cerrado durante un largo período de tiempo, por lo que, el inductor se cargará completamente y se comportará como un corto circuito.
El circuito que tenemos es el siguiente:
Obtener la intensidad es fácil, simplemente con un divisor de intensidad:
· ip = 6·[15/(15 + 30)] = 2 A.
· NOTA: Req= R2+ R3= 10 + 20 = 30 Ω
El inductor se cargará hasta la corriente máxima que proporciona el circuito, en este caso, hasta 2 A.
· Régimen Transitorio:
El inductor se está cargando, vamos a realizar un cambio de fuente (de fuente lineal de intensidad a fuente de tensión lineal) para obtener los cálculos más rápido:
· NOTA: V1 = R1·I1 = 15·6 = 90 V
Realizamos el análisis mediante LVK:
· [Ec1] - V1 + in·(R1+ R2+ R3) + LDin = 0
Dividimos por L:
· Din + [(R1+ R2+ R3)/L]·in = V1/L
Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:
· [Ec2] Din + [(R1+ R2+ R3)/L]·in = 0
Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:
· in(t) = k·e-A·t
Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec2]:
- k·A·e-A·t + [(R1+ R2+ R3)/L]·k·e-A·t = 0
Analizamos en circuito en el instante t = 0 (el interruptor S1 se cierra), por lo tanto:
- k·A + [(R1+ R2+ R3)/L]·k = 0
Despejamos el parámetro A:
· A = (R1+ R2+ R3)/L = (15 + 10 + 20)/5 = 9 s-1
Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 0 es:
· τ = 1/A = 1/9 ≈ 0.111111 s
Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del inductor.
· Inductor: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.
En el instante t = 0, el inductor está totalmente descargado:
· i(0-) = i(0+)
Por lo tanto:
· 0 = ip + in = 2 + k·e-9·t = {t = 0} = 2 + k
Despejamos k:
· k = - 2
Así que, una expresión para la corriente del circuito es:
· i(t) = 2 - 2·e-9·t = 2·(1 - e-9·t), 0 < t < 2 s
Ahora, vamos a estudiar el comportamiento de la corriente en el siguiente instante que nos dicta el enunciado del problema.
· t = 2 s: S1 y S2 Cerrados.
El circuito que tenemos es el siguiente:
Al igual que antes, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (in) y por el otro: El régimen permanente (ip). La solución general será del tipo:
· i(2+) = ip + in
Así que vamos a obtener los dos por separado.
· Régimen Permanente:
Este caso, tanto el interruptor S1 como S2 han estado cerrados durante un largo período de tiempo, por lo que, el inductor se cargará completamente y se comportará como un corto circuito.
El circuito que tenemos es el siguiente:
Obtener la intensidad es fácil, simplemente con un divisor de intensidad:
· ip = 6·[15/(15 + 10)] = 3.6 A.
El inductor se cargará hasta la corriente máxima que proporciona el circuito, en este caso, hasta 3.6 A.
· Régimen Transitorio:
El inductor se está cargando, vamos a realizar un cambio de fuente (de fuente lineal de intensidad a fuente de tensión lineal) para obtener los cálculos más rápido:
· NOTA: V1 = R1·I1 = 15·6 = 90 V
Realizamos el análisis mediante LVK:
· [Ec1] - V1 + in·(R1+ R2) + LDin = 0
Dividimos por L:
· Din + [(R1+ R2)/L]·in = V1/L
Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:
· [Ec2] Din + [(R1+ R2)/L]·in = 0
Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:
· in(t) = k·e-A·(t - 2)
Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec2]:
- k·A·e-A·(t - 2) + [(R1+ R2)/L]·k·e-A·(t - 2) = 0
Analizamos en circuito en el instante t = 2 s (el interruptor S2 se cierra), por lo tanto:
- k·A + [(R1+ R2)/L]·k = 0
Despejamos el parámetro A:
· A = (R1+ R2)/L = (15 + 10)/5 = 5 s-1
Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 2 s es:
· τ = 1/A = 1/5 = 0.2 s
Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del inductor.
· Inductor: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.
En el instante t = 2 s (hay que tener en cuenta que, el inductor está previamente cargado):
· i(2-) = i(2+)
Por lo tanto:
· 2·(1 - e-9·t) = ip + in = 3.6 + k·e-5·(t - 2)
Para el instante t = 2 s, tenemos:
· 3.6 + k = 2·(1 - e-9·2)
Despejamos k:
· k = 2·(1 - e-18) - 3.6 ≈ - 1.6
Así que, una expresión para la corriente del circuito es:
· i(t) = 3.6 - 1.6·e-5·(t - 2), t ≥ 2 s
Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la corriente dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema es:
Y una representación gráfica de cómo evoluciona la corriente, dadas las condiciones del problema, es la que se muestra a continuación:
Os dejo una simulación realizada en LTSpice:
| Problema 6: Transitorios de 1º Orden | |||||||||
|
La simulación no es fiel a las especificaciones del problema, ya que, entre otras cosas, simular un interruptor en LTSpice es algo complicado. Aún así, se puede ver perfectamente cómo evoluciona la intensidad del inductor y obtener la constante de tiempo del circuito dadas las especificaciones del problema.
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