Aqueronte: Problema2: Circuitos 1º Orden

Ej2. Dado el siguiente circuito:

Dónde los valores de los componentes que lo componen son:

· L = 1/6 H.
· R₁ = 3 Ω.
· R₂ = 1 Ω.
· R₃ = 5 Ω.

Aparte, se sabe que la bobina tiene una carga inicial, en el instante t = 0, de 5 A. Obtener:

a) El valor de i.

b) El valor de V_s.

c) La constante de tiempo del circuito.

Apartado a)

En este apartado nos piden obtener el valor de i que se muestra en el enunciado del problema, para el ello, vamos a emplear el método de mallas.

Se pueden diferenciar, claramente, dos mallas, realizamos el análisis y obtenemos las expresiones a cada malla:

· [Malla 1] i₁·(R₁ + R₂) + LDi₁ - i₂·R₂ = 2V_s
· [Malla 2] - i₁·R₂ + i₂·(R₂ + R₃) = - 2V_sDe la ecuación de [Malla 2], despejamos entorno a la corriente i₂:

· i₂= (i₁·R₂ - 2V_s)/(R₂ + R₃)

Ahora, simplemente sustituimos dicho valor, en la ecuación de [Malla 1] y agrupamos:

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, pero hay que tener en cuenta que el valor de V_s es de una fuente dependiente de tensión, cuyo valor es:

· V_s= - i₁·R₁

Por lo tanto, sustituimos y dividimos por L en nuestra ecuación diferencial de 1º Orden:

Simplificamos:

· [Ec1]:

Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· i₁(t) = k·e^-A·t

Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec1]:

- k·A·e^-A·t + [(R₂·R₃ + 3R₁·R₃ + R₁·R₂)/(L·(R₃+ R₂))]·k·e^-A·t = 0

Analizamos en circuito en el instante t = 0 (el enunciado del problema, nos indica éste punto de partida dándonos una carga inicial del inductor), por lo tanto:

- k·A + [(R₂·R₃ + 3R₁·R₃ + R₁·R₂)/(L·(R₃+ R₂))]·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = [(R₂·R₃ + 3R₁·R₃ + R₁·R₂)/(L·(R₃+ R₂))]

Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del inductor.

· Inductor: La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.

En el instante t = 0:

· i(0^-) = i(0⁺)

Por lo tanto (teniendo en cuenta que en este circuito sólo está presente el régimen transitorio):

5 = k·e^-A·0

Obtenemos el valor del parámetro que nos faltaba:

· k = 5

Así que, una expresión para la corriente que atraviesa el inductor será:

Ya que tenemos la expresión de la corriente que nos pide el enunciado del problema de manera simbólica, vamos a sustituir por los valores de cada componente, obteniendo la solución a este apartado:

· i = i₁(t) = 5·e^-53·t , t ≥ 0

Una representación gráfica de cómo se comporta dicha intensidad, se muestra en la siguiente figura:

Apartado b)

En este apartado, nos piden obtener el valor de la tensión V_s, en este caso, es fácil obtenerla ya que tenemos el valor de la intensidad calculada en el apartado anterior.

Por lo tanto:

· V_s= - i·R₁

Sustituimos valores:

· V_s= - 5·e^-53·t·3 = - 15·e^-53·t , t ≥ 0

Una representación gráfica de cómo se comporta dicha tensión, se muestra en la siguiente figura:

Apartado c)

Tenemos todo lo necesario ya calculado por lo que, la constante de tiempo y la solución a este apartado es:

· τ = 1/A = (L·(R₃+ R₂))/(R₂·R₃ + 3R₁·R₃ + R₁·R₂) = (1/6·(5+1))/(1·5+3·3·5+3·1) ≈ 0.018868 s

Por lo tanto, la constante de tiempo es, aproximadamente, 18.87 ms

Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 2: Transitorios de 1º Orden